3

24 dec 2025

8 pagina's

Berekening van Oppervlakten Onder en Tussen Grafieken

user profile picture

Knowunity Netherlands

@knowunitynether

Eindelijk gaat integreren echt nuttig worden! Deze module laat je... Meer weergeven

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
1 / 8
Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Leerdoelen en Introductie

Je gaat leren hoe je integralen inzet voor echte berekeningen in plaats van alleen maar wiskundige oefeningen. Dit hoofdstuk verbindt de theorie die je al kent met praktische situaties waar je daadwerkelijk iets mee kunt.

De vijf hoofdvaardigheden die je gaat beheersen zijn cruciaal voor je eindexamen. Je leert oppervlaktes berekenen met bepaalde integralen, en je ontdekt hoe je dit toepast op echte Nederlandse voorbeelden.

💡 Let op: Deze technieken kom je later tegen in studies zoals techniek, natuurkunde en economie - dit is geen 'nutteloze' wiskunde!

Het mooie aan dit onderwerp is dat je eindelijk ziet waarvoor al die integratieregels nou eigenlijk dienen. Van waterverbruik tot energieopbrengst van zonnepanelen - integralen zijn overal om je heen.

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Oppervlakte onder een grafiek

De bepaalde integraal is jouw gereedschap om oppervlaktes te berekenen. De formule A = ∫atotba tot b f(x)dx geeft je de oppervlakte tussen de grafiek, de x-as en twee verticale lijnen.

Hier wordt het interessant: als een functie onder de x-as ligt, krijg je een negatieve uitkomst. Voor de werkelijke oppervlakte neem je dan de absolute waarde - oppervlakte kan immers nooit negatief zijn!

Een voorbeeld maakt dit duidelijk: voor f(x) = x² tussen x = 1 en x = 3 bereken je ∫1tot31 tot 3 x²dx. De primitieve is x³/3, dus je krijgt 27/3 - 1/3 = 26/3 vierkante eenheden.

💡 Handige tip: Ligt je functie deels boven én onder de x-as? Dan moet je de oppervlakte opsplitsen bij de nulpunten en elk deel apart berekenen.

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Oppervlakte tussen twee grafieken

Nu wordt het pas echt spannend! Voor de oppervlakte tussen grafieken gebruik je A = ∫atotba tot b |f(x) - g(x)|dx. Het verschil tussen de functies geeft je de 'hoogte' op elk punt.

Je stappenplan is helder: zoek eerst de snijpunten door f(x) = g(x) op te lossen. Controleer daarna welke functie bovenaan ligt door een testwaarde te proberen.

Neem f(x) = x² en g(x) = 2x. De snijpunten zijn x = 0 en x = 2. Bij x = 1 geldt f(1) = 1 en g(1) = 2, dus g(x) ligt bovenaan. De oppervlakte wordt dan ∫0tot20 tot 2 2xx22x - x²dx = 4/3.

💡 Waarschuwing: Snijden de grafieken elkaar meerdere keren? Dan moet je per deelinterval rekenen en alles bij elkaar optellen!

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Praktische toepassingen in Nederland

Hier wordt wiskunde écht praktisch! Waterschappen gebruiken integralen om watervolumes te berekenen. Bij een debiet D(t) = 2000 + 500sinπt/6πt/6 m³/s bereken je het totale volume over 12 uur met een integraal.

Bevolkingsgroei van Amsterdam modelleren? Met G(t) = 1000 + 50t mensen per jaar bereken je de toename tussen 2020 en 2025: ∫0tot50 tot 5 1000+50t1000 + 50tdt = 5625 nieuwe inwoners.

Ook energieverbruik van zonnepanelen kun je zo berekenen. Als P(t) het vermogen voorstelt, geeft de integraal van P(t) de totale energieproductie in kWh.

💡 Realistisch voorbeeld: Nederlandse huishoudens gebruiken gemiddeld 3000 kWh per jaar - zo kun je controleren of je berekening klopt!

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Zonnepanelen berekening

Een concreet Nederlandse situatie: een zonnepaneel in Utrecht heeft vermogen P(t) = 3sin²πt/12πt/12 kW gedurende 12 uur daglicht. Hoeveel energie levert dit op?

Je gebruikt de trigonometrische identiteit sin²(x) = 1cos(2x)1 - cos(2x)/2 om de integraal op te lossen. Dit geeft je ∫0tot120 tot 12 31cos(πt/6)1 - cos(πt/6)/2 dt.

Na uitwerking krijg je 18 kWh voor één dag. Dat is een realistische opbrengst voor een huishoudelijk zonnepaneel in Nederland!

💡 Context: Een gemiddeld Nederlands huishouden gebruikt ongeveer 8 kWh per dag, dus dit paneel levert meer dan genoeg energie.

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Stappenplan en veelgemaakte fouten

Voor oppervlakte onder één grafiek: controleer altijd of de functie boven of onder de x-as ligt. Bij negatieve delen splits je de integraal op bij nulpunten en tel je absolute waarden op.

Bij oppervlakte tussen grafieken: zoek álle snijpunten, bepaal per interval welke functie bovenaan ligt, en bereken elk deelgebied apart.

Drie klassieke valkuilen: vergeten dat negatieve oppervlaktes een negatieve integraal geven, de verkeerde functie bovenaan zetten, en snijpunten over het hoofd zien.

💡 Slimme check: Je antwoord moet altijd positief zijn, en bij symmetrische functies kun je de symmetrie gebruiken om je berekening te controleren.

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Oefenopgaven en toepassingen

Basisoefening 1: Voor f(x) = 4 - x² tussen x = -2 en x = 2 krijg je ∫2tot2-2 tot 2 4x24 - x²dx = 32/3. Let op de symmetrie van deze parabool!

Basisoefening 2: Tussen f(x) = x³ en g(x) = x vind je snijpunten bij x = -1, 0, 1. De totale oppervlakte wordt 1/2 door beide intervallen op te tellen.

Een praktijkvoorbeeld: een Nederlands perceel met breedte B(x) = 100 - x² meter heeft oppervlakte ∫0tot100 tot 10 100x2100 - x²dx × 100 = 200000/3 m². Vergeet niet de eenheden om te rekenen!

💡 Oefentip: Maak verschillende typen opgaven - enkelvoudige oppervlaktes, tussen grafieken, en praktische toepassingen. Variatie maakt je sterker!

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Samenvatting en belangrijke formules

De kernformules zijn A = ∫atotba tot b |f(x)|dx voor oppervlakte onder een grafiek en A = ∫atotba tot b |f(x) - g(x)|dx tussen grafieken. Onthoud: oppervlakte is altijd positief!

Belangrijke checklist: zoek alle snijpunten, splits waar functies van plaats wisselen, controleer welke functie bovenaan ligt, en let op eenheden bij praktische opgaven.

Deze technieken vormen de basis voor geavanceerdere toepassingen zoals volumes van omwentelingslichamen en economische modellen. Je bouwt hier een solide fundament voor vervolgstudies.

💡 Motivatie: Deze wiskundige technieken worden dagelijks gebruikt in techniek, natuurkunde en economie - je leert dus echt bruikbare vaardigheden!



We dachten al dat je dit zou vragen...

Wat is de Knowunity AI companion?

Onze AI Companion is een studentgerichte AI-tool die meer biedt dan alleen antwoorden. Gebouwd op miljoenen Knowunity bronnen, biedt het relevante informatie, gepersonaliseerde studieplannen, quizzes en inhoud direct in de chat, aangepast aan jouw individuele leertraject.

Waar kan ik de Knowunity-app downloaden?

Je kunt de app downloaden via Google Play Store en Apple App Store.

Is Knowunity echt gratis?

Dat klopt! Geniet van gratis toegang tot leerinhoud, maak contact met medestudenten en krijg directe hulp – alles binnen handbereik.

Kan je niet vinden wat je zoekt? Ontdek andere vakken.

Studenten zijn dol op ons — en jij ook.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

De app is heel makkelijk te gebruiken en goed ontworpen. Ik heb tot nu toe alles kunnen vinden waar ik naar zocht en heb veel kunnen leren van de presentaties! Ik ga de app zeker gebruiken voor een schoolopdracht! En natuurlijk helpt het ook veel als inspiratie.

Stefan S

iOS gebruiker

Deze app is echt geweldig. Er zijn zoveel aantekeningen en hulpmiddelen [...]. Mijn probleemvak is bijvoorbeeld Frans, en de app heeft zoveel opties voor hulp. Dankzij deze app ben ik beter geworden in Frans. Ik zou het iedereen aanraden.

Samantha Klich

Android gebruiker

Wow, ik ben echt onder de indruk. Ik probeerde de app gewoon omdat ik hem vaak geadverteerd had gezien en was absoluut verbaasd. Deze app is DE HULP die je wilt voor school en bovenal biedt hij zoveel dingen, zoals oefeningen en factsheets, die mij persoonlijk HEEL erg hebben geholpen.

Anna

iOS gebruiker

Beste app ter wereld! geen woorden want het is te goed

Thomas R

iOS gebruiker

Gewoon geweldig. Laat me 10x beter leren, deze app is een vlotte 10/10. Ik raad het iedereen aan. Ik kan aantekeningen bekijken en zoeken. Ik kan ze opslaan in de vakmap. Ik kan ze altijd herhalen als ik terugkom. Als je deze app nog niet hebt geprobeerd, mis je echt iets.

Basil

Android gebruiker

Deze app heeft me zoveel zekerder gemaakt over mijn examenvoorbereiding, niet alleen door mijn zelfvertrouwen te boosten met functies waarmee je contact kunt maken met anderen en je minder alleen voelt, maar ook door de manier waarop de app zelf erop gericht is je beter te laten voelen. Het is makkelijk om doorheen te navigeren, leuk om te gebruiken, en nuttig voor iedereen die op welke manier dan ook worstelt.

David K

iOS gebruiker

De app is gewoon geweldig! Ik hoef alleen maar het onderwerp in de zoekbalk in te voeren en ik krijg supersnel antwoord. Ik hoef geen 10 YouTube-video's te kijken om iets te begrijpen, dus ik bespaar tijd. Zeer aanbevolen!

Sudenaz Ocak

Android gebruiker

Op school was ik echt slecht in wiskunde, maar dankzij de app gaat het nu veel beter. Ik ben zo dankbaar dat jullie de app hebben gemaakt.

Greenlight Bonnie

Android gebruiker

zeer betrouwbare app om je ideeën over wiskunde, Engels en andere gerelateerde onderwerpen in je werk te helpen en te ontwikkelen. gebruik deze app alsjeblieft als je ergens moeite mee hebt, deze app is essentieel daarvoor. had ik maar eerder een review geschreven. en het is ook gratis dus maak je daar geen zorgen over.

Rohan U

Android gebruiker

Ik weet dat veel apps nepaccounts gebruiken om hun reviews op te krikken maar deze app verdient het allemaal. Eerst haalde ik een 4 voor mijn Engels examens en deze keer kreeg ik een 7. Ik wist niet eens van deze app tot drie dagen voor het examen en het heeft ENORM geholpen. Vertrouw me alsjeblieft en gebruik het want ik weet zeker dat jij ook vooruitgang zult zien.

Xander S

iOS gebruiker

DE QUIZZES EN FLASHCARDS ZIJN ZO NUTTIG EN IK VIND DE SCHOOLGPT GEWELDIG. HET IS OOK LETTERLIJK ZOALS CHATGPT MAAR SLIMMER!! HEEFT ME OOK GEHOLPEN MET MIJN MASCARA PROBLEMEN!! EN OOK MET MIJN ECHTE VAKKEN! DUHHH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS gebruiker

Deze app is echt de beste. Ik vind herhaling zo saai maar deze app maakt het zo makkelijk om alles te organiseren en dan kun je de gratis AI vragen om jezelf te testen, zo goed en je kunt makkelijk je eigen spullen uploaden. raad het zeker aan als iemand die nu oefenexamens doet

Paul T

iOS gebruiker

De app is heel makkelijk te gebruiken en goed ontworpen. Ik heb tot nu toe alles kunnen vinden waar ik naar zocht en heb veel kunnen leren van de presentaties! Ik ga de app zeker gebruiken voor een schoolopdracht! En natuurlijk helpt het ook veel als inspiratie.

Stefan S

iOS gebruiker

Deze app is echt geweldig. Er zijn zoveel aantekeningen en hulpmiddelen [...]. Mijn probleemvak is bijvoorbeeld Frans, en de app heeft zoveel opties voor hulp. Dankzij deze app ben ik beter geworden in Frans. Ik zou het iedereen aanraden.

Samantha Klich

Android gebruiker

Wow, ik ben echt onder de indruk. Ik probeerde de app gewoon omdat ik hem vaak geadverteerd had gezien en was absoluut verbaasd. Deze app is DE HULP die je wilt voor school en bovenal biedt hij zoveel dingen, zoals oefeningen en factsheets, die mij persoonlijk HEEL erg hebben geholpen.

Anna

iOS gebruiker

Beste app ter wereld! geen woorden want het is te goed

Thomas R

iOS gebruiker

Gewoon geweldig. Laat me 10x beter leren, deze app is een vlotte 10/10. Ik raad het iedereen aan. Ik kan aantekeningen bekijken en zoeken. Ik kan ze opslaan in de vakmap. Ik kan ze altijd herhalen als ik terugkom. Als je deze app nog niet hebt geprobeerd, mis je echt iets.

Basil

Android gebruiker

Deze app heeft me zoveel zekerder gemaakt over mijn examenvoorbereiding, niet alleen door mijn zelfvertrouwen te boosten met functies waarmee je contact kunt maken met anderen en je minder alleen voelt, maar ook door de manier waarop de app zelf erop gericht is je beter te laten voelen. Het is makkelijk om doorheen te navigeren, leuk om te gebruiken, en nuttig voor iedereen die op welke manier dan ook worstelt.

David K

iOS gebruiker

De app is gewoon geweldig! Ik hoef alleen maar het onderwerp in de zoekbalk in te voeren en ik krijg supersnel antwoord. Ik hoef geen 10 YouTube-video's te kijken om iets te begrijpen, dus ik bespaar tijd. Zeer aanbevolen!

Sudenaz Ocak

Android gebruiker

Op school was ik echt slecht in wiskunde, maar dankzij de app gaat het nu veel beter. Ik ben zo dankbaar dat jullie de app hebben gemaakt.

Greenlight Bonnie

Android gebruiker

zeer betrouwbare app om je ideeën over wiskunde, Engels en andere gerelateerde onderwerpen in je werk te helpen en te ontwikkelen. gebruik deze app alsjeblieft als je ergens moeite mee hebt, deze app is essentieel daarvoor. had ik maar eerder een review geschreven. en het is ook gratis dus maak je daar geen zorgen over.

Rohan U

Android gebruiker

Ik weet dat veel apps nepaccounts gebruiken om hun reviews op te krikken maar deze app verdient het allemaal. Eerst haalde ik een 4 voor mijn Engels examens en deze keer kreeg ik een 7. Ik wist niet eens van deze app tot drie dagen voor het examen en het heeft ENORM geholpen. Vertrouw me alsjeblieft en gebruik het want ik weet zeker dat jij ook vooruitgang zult zien.

Xander S

iOS gebruiker

DE QUIZZES EN FLASHCARDS ZIJN ZO NUTTIG EN IK VIND DE SCHOOLGPT GEWELDIG. HET IS OOK LETTERLIJK ZOALS CHATGPT MAAR SLIMMER!! HEEFT ME OOK GEHOLPEN MET MIJN MASCARA PROBLEMEN!! EN OOK MET MIJN ECHTE VAKKEN! DUHHH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS gebruiker

Deze app is echt de beste. Ik vind herhaling zo saai maar deze app maakt het zo makkelijk om alles te organiseren en dan kun je de gratis AI vragen om jezelf te testen, zo goed en je kunt makkelijk je eigen spullen uploaden. raad het zeker aan als iemand die nu oefenexamens doet

Paul T

iOS gebruiker

 

Wiskunde B

3

24 dec 2025

8 pagina's

Berekening van Oppervlakten Onder en Tussen Grafieken

user profile picture

Knowunity Netherlands

@knowunitynether

Eindelijk gaat integreren echt nuttig worden! Deze module laat je zien hoe je met integralen praktische problemen oplost, zoals het berekenen van oppervlaktes onder grafieken en tussen verschillende functies.

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Meld je aan om de inhoud te zienHet is gratis!

Toegang tot alle documenten

Verbeter je cijfers

Sluit je aan bij miljoenen studenten

Door je aan te melden ga je akkoord met de Servicevoorwaarden en het Privacybeleid

Leerdoelen en Introductie

Je gaat leren hoe je integralen inzet voor echte berekeningen in plaats van alleen maar wiskundige oefeningen. Dit hoofdstuk verbindt de theorie die je al kent met praktische situaties waar je daadwerkelijk iets mee kunt.

De vijf hoofdvaardigheden die je gaat beheersen zijn cruciaal voor je eindexamen. Je leert oppervlaktes berekenen met bepaalde integralen, en je ontdekt hoe je dit toepast op echte Nederlandse voorbeelden.

💡 Let op: Deze technieken kom je later tegen in studies zoals techniek, natuurkunde en economie - dit is geen 'nutteloze' wiskunde!

Het mooie aan dit onderwerp is dat je eindelijk ziet waarvoor al die integratieregels nou eigenlijk dienen. Van waterverbruik tot energieopbrengst van zonnepanelen - integralen zijn overal om je heen.

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Meld je aan om de inhoud te zienHet is gratis!

Toegang tot alle documenten

Verbeter je cijfers

Sluit je aan bij miljoenen studenten

Door je aan te melden ga je akkoord met de Servicevoorwaarden en het Privacybeleid

Oppervlakte onder een grafiek

De bepaalde integraal is jouw gereedschap om oppervlaktes te berekenen. De formule A = ∫atotba tot b f(x)dx geeft je de oppervlakte tussen de grafiek, de x-as en twee verticale lijnen.

Hier wordt het interessant: als een functie onder de x-as ligt, krijg je een negatieve uitkomst. Voor de werkelijke oppervlakte neem je dan de absolute waarde - oppervlakte kan immers nooit negatief zijn!

Een voorbeeld maakt dit duidelijk: voor f(x) = x² tussen x = 1 en x = 3 bereken je ∫1tot31 tot 3 x²dx. De primitieve is x³/3, dus je krijgt 27/3 - 1/3 = 26/3 vierkante eenheden.

💡 Handige tip: Ligt je functie deels boven én onder de x-as? Dan moet je de oppervlakte opsplitsen bij de nulpunten en elk deel apart berekenen.

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Meld je aan om de inhoud te zienHet is gratis!

Toegang tot alle documenten

Verbeter je cijfers

Sluit je aan bij miljoenen studenten

Door je aan te melden ga je akkoord met de Servicevoorwaarden en het Privacybeleid

Oppervlakte tussen twee grafieken

Nu wordt het pas echt spannend! Voor de oppervlakte tussen grafieken gebruik je A = ∫atotba tot b |f(x) - g(x)|dx. Het verschil tussen de functies geeft je de 'hoogte' op elk punt.

Je stappenplan is helder: zoek eerst de snijpunten door f(x) = g(x) op te lossen. Controleer daarna welke functie bovenaan ligt door een testwaarde te proberen.

Neem f(x) = x² en g(x) = 2x. De snijpunten zijn x = 0 en x = 2. Bij x = 1 geldt f(1) = 1 en g(1) = 2, dus g(x) ligt bovenaan. De oppervlakte wordt dan ∫0tot20 tot 2 2xx22x - x²dx = 4/3.

💡 Waarschuwing: Snijden de grafieken elkaar meerdere keren? Dan moet je per deelinterval rekenen en alles bij elkaar optellen!

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Meld je aan om de inhoud te zienHet is gratis!

Toegang tot alle documenten

Verbeter je cijfers

Sluit je aan bij miljoenen studenten

Door je aan te melden ga je akkoord met de Servicevoorwaarden en het Privacybeleid

Praktische toepassingen in Nederland

Hier wordt wiskunde écht praktisch! Waterschappen gebruiken integralen om watervolumes te berekenen. Bij een debiet D(t) = 2000 + 500sinπt/6πt/6 m³/s bereken je het totale volume over 12 uur met een integraal.

Bevolkingsgroei van Amsterdam modelleren? Met G(t) = 1000 + 50t mensen per jaar bereken je de toename tussen 2020 en 2025: ∫0tot50 tot 5 1000+50t1000 + 50tdt = 5625 nieuwe inwoners.

Ook energieverbruik van zonnepanelen kun je zo berekenen. Als P(t) het vermogen voorstelt, geeft de integraal van P(t) de totale energieproductie in kWh.

💡 Realistisch voorbeeld: Nederlandse huishoudens gebruiken gemiddeld 3000 kWh per jaar - zo kun je controleren of je berekening klopt!

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Meld je aan om de inhoud te zienHet is gratis!

Toegang tot alle documenten

Verbeter je cijfers

Sluit je aan bij miljoenen studenten

Door je aan te melden ga je akkoord met de Servicevoorwaarden en het Privacybeleid

Zonnepanelen berekening

Een concreet Nederlandse situatie: een zonnepaneel in Utrecht heeft vermogen P(t) = 3sin²πt/12πt/12 kW gedurende 12 uur daglicht. Hoeveel energie levert dit op?

Je gebruikt de trigonometrische identiteit sin²(x) = 1cos(2x)1 - cos(2x)/2 om de integraal op te lossen. Dit geeft je ∫0tot120 tot 12 31cos(πt/6)1 - cos(πt/6)/2 dt.

Na uitwerking krijg je 18 kWh voor één dag. Dat is een realistische opbrengst voor een huishoudelijk zonnepaneel in Nederland!

💡 Context: Een gemiddeld Nederlands huishouden gebruikt ongeveer 8 kWh per dag, dus dit paneel levert meer dan genoeg energie.

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Meld je aan om de inhoud te zienHet is gratis!

Toegang tot alle documenten

Verbeter je cijfers

Sluit je aan bij miljoenen studenten

Door je aan te melden ga je akkoord met de Servicevoorwaarden en het Privacybeleid

Stappenplan en veelgemaakte fouten

Voor oppervlakte onder één grafiek: controleer altijd of de functie boven of onder de x-as ligt. Bij negatieve delen splits je de integraal op bij nulpunten en tel je absolute waarden op.

Bij oppervlakte tussen grafieken: zoek álle snijpunten, bepaal per interval welke functie bovenaan ligt, en bereken elk deelgebied apart.

Drie klassieke valkuilen: vergeten dat negatieve oppervlaktes een negatieve integraal geven, de verkeerde functie bovenaan zetten, en snijpunten over het hoofd zien.

💡 Slimme check: Je antwoord moet altijd positief zijn, en bij symmetrische functies kun je de symmetrie gebruiken om je berekening te controleren.

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Meld je aan om de inhoud te zienHet is gratis!

Toegang tot alle documenten

Verbeter je cijfers

Sluit je aan bij miljoenen studenten

Door je aan te melden ga je akkoord met de Servicevoorwaarden en het Privacybeleid

Oefenopgaven en toepassingen

Basisoefening 1: Voor f(x) = 4 - x² tussen x = -2 en x = 2 krijg je ∫2tot2-2 tot 2 4x24 - x²dx = 32/3. Let op de symmetrie van deze parabool!

Basisoefening 2: Tussen f(x) = x³ en g(x) = x vind je snijpunten bij x = -1, 0, 1. De totale oppervlakte wordt 1/2 door beide intervallen op te tellen.

Een praktijkvoorbeeld: een Nederlands perceel met breedte B(x) = 100 - x² meter heeft oppervlakte ∫0tot100 tot 10 100x2100 - x²dx × 100 = 200000/3 m². Vergeet niet de eenheden om te rekenen!

💡 Oefentip: Maak verschillende typen opgaven - enkelvoudige oppervlaktes, tussen grafieken, en praktische toepassingen. Variatie maakt je sterker!

Integreren: Oppervlakte
onder en tussen grafieken
Berekenen van oppervlaktes met integralen en praktische
toepassingen
Wiskunde B 
Grade 12

Meld je aan om de inhoud te zienHet is gratis!

Toegang tot alle documenten

Verbeter je cijfers

Sluit je aan bij miljoenen studenten

Door je aan te melden ga je akkoord met de Servicevoorwaarden en het Privacybeleid

Samenvatting en belangrijke formules

De kernformules zijn A = ∫atotba tot b |f(x)|dx voor oppervlakte onder een grafiek en A = ∫atotba tot b |f(x) - g(x)|dx tussen grafieken. Onthoud: oppervlakte is altijd positief!

Belangrijke checklist: zoek alle snijpunten, splits waar functies van plaats wisselen, controleer welke functie bovenaan ligt, en let op eenheden bij praktische opgaven.

Deze technieken vormen de basis voor geavanceerdere toepassingen zoals volumes van omwentelingslichamen en economische modellen. Je bouwt hier een solide fundament voor vervolgstudies.

💡 Motivatie: Deze wiskundige technieken worden dagelijks gebruikt in techniek, natuurkunde en economie - je leert dus echt bruikbare vaardigheden!

We dachten al dat je dit zou vragen...

Wat is de Knowunity AI companion?

Onze AI Companion is een studentgerichte AI-tool die meer biedt dan alleen antwoorden. Gebouwd op miljoenen Knowunity bronnen, biedt het relevante informatie, gepersonaliseerde studieplannen, quizzes en inhoud direct in de chat, aangepast aan jouw individuele leertraject.

Waar kan ik de Knowunity-app downloaden?

Je kunt de app downloaden via Google Play Store en Apple App Store.

Is Knowunity echt gratis?

Dat klopt! Geniet van gratis toegang tot leerinhoud, maak contact met medestudenten en krijg directe hulp – alles binnen handbereik.

0

Slimme Tools NIEUW

Zet deze aantekening om in: ✓ 50+ Oefenvragen ✓ Interactieve Flashcards ✓ Volledig Proefexamen ✓ Essay Outlines

Proefexamen
Quiz
Flashcards
Essay

Kan je niet vinden wat je zoekt? Ontdek andere vakken.

Studenten zijn dol op ons — en jij ook.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

De app is heel makkelijk te gebruiken en goed ontworpen. Ik heb tot nu toe alles kunnen vinden waar ik naar zocht en heb veel kunnen leren van de presentaties! Ik ga de app zeker gebruiken voor een schoolopdracht! En natuurlijk helpt het ook veel als inspiratie.

Stefan S

iOS gebruiker

Deze app is echt geweldig. Er zijn zoveel aantekeningen en hulpmiddelen [...]. Mijn probleemvak is bijvoorbeeld Frans, en de app heeft zoveel opties voor hulp. Dankzij deze app ben ik beter geworden in Frans. Ik zou het iedereen aanraden.

Samantha Klich

Android gebruiker

Wow, ik ben echt onder de indruk. Ik probeerde de app gewoon omdat ik hem vaak geadverteerd had gezien en was absoluut verbaasd. Deze app is DE HULP die je wilt voor school en bovenal biedt hij zoveel dingen, zoals oefeningen en factsheets, die mij persoonlijk HEEL erg hebben geholpen.

Anna

iOS gebruiker

Beste app ter wereld! geen woorden want het is te goed

Thomas R

iOS gebruiker

Gewoon geweldig. Laat me 10x beter leren, deze app is een vlotte 10/10. Ik raad het iedereen aan. Ik kan aantekeningen bekijken en zoeken. Ik kan ze opslaan in de vakmap. Ik kan ze altijd herhalen als ik terugkom. Als je deze app nog niet hebt geprobeerd, mis je echt iets.

Basil

Android gebruiker

Deze app heeft me zoveel zekerder gemaakt over mijn examenvoorbereiding, niet alleen door mijn zelfvertrouwen te boosten met functies waarmee je contact kunt maken met anderen en je minder alleen voelt, maar ook door de manier waarop de app zelf erop gericht is je beter te laten voelen. Het is makkelijk om doorheen te navigeren, leuk om te gebruiken, en nuttig voor iedereen die op welke manier dan ook worstelt.

David K

iOS gebruiker

De app is gewoon geweldig! Ik hoef alleen maar het onderwerp in de zoekbalk in te voeren en ik krijg supersnel antwoord. Ik hoef geen 10 YouTube-video's te kijken om iets te begrijpen, dus ik bespaar tijd. Zeer aanbevolen!

Sudenaz Ocak

Android gebruiker

Op school was ik echt slecht in wiskunde, maar dankzij de app gaat het nu veel beter. Ik ben zo dankbaar dat jullie de app hebben gemaakt.

Greenlight Bonnie

Android gebruiker

zeer betrouwbare app om je ideeën over wiskunde, Engels en andere gerelateerde onderwerpen in je werk te helpen en te ontwikkelen. gebruik deze app alsjeblieft als je ergens moeite mee hebt, deze app is essentieel daarvoor. had ik maar eerder een review geschreven. en het is ook gratis dus maak je daar geen zorgen over.

Rohan U

Android gebruiker

Ik weet dat veel apps nepaccounts gebruiken om hun reviews op te krikken maar deze app verdient het allemaal. Eerst haalde ik een 4 voor mijn Engels examens en deze keer kreeg ik een 7. Ik wist niet eens van deze app tot drie dagen voor het examen en het heeft ENORM geholpen. Vertrouw me alsjeblieft en gebruik het want ik weet zeker dat jij ook vooruitgang zult zien.

Xander S

iOS gebruiker

DE QUIZZES EN FLASHCARDS ZIJN ZO NUTTIG EN IK VIND DE SCHOOLGPT GEWELDIG. HET IS OOK LETTERLIJK ZOALS CHATGPT MAAR SLIMMER!! HEEFT ME OOK GEHOLPEN MET MIJN MASCARA PROBLEMEN!! EN OOK MET MIJN ECHTE VAKKEN! DUHHH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS gebruiker

Deze app is echt de beste. Ik vind herhaling zo saai maar deze app maakt het zo makkelijk om alles te organiseren en dan kun je de gratis AI vragen om jezelf te testen, zo goed en je kunt makkelijk je eigen spullen uploaden. raad het zeker aan als iemand die nu oefenexamens doet

Paul T

iOS gebruiker

De app is heel makkelijk te gebruiken en goed ontworpen. Ik heb tot nu toe alles kunnen vinden waar ik naar zocht en heb veel kunnen leren van de presentaties! Ik ga de app zeker gebruiken voor een schoolopdracht! En natuurlijk helpt het ook veel als inspiratie.

Stefan S

iOS gebruiker

Deze app is echt geweldig. Er zijn zoveel aantekeningen en hulpmiddelen [...]. Mijn probleemvak is bijvoorbeeld Frans, en de app heeft zoveel opties voor hulp. Dankzij deze app ben ik beter geworden in Frans. Ik zou het iedereen aanraden.

Samantha Klich

Android gebruiker

Wow, ik ben echt onder de indruk. Ik probeerde de app gewoon omdat ik hem vaak geadverteerd had gezien en was absoluut verbaasd. Deze app is DE HULP die je wilt voor school en bovenal biedt hij zoveel dingen, zoals oefeningen en factsheets, die mij persoonlijk HEEL erg hebben geholpen.

Anna

iOS gebruiker

Beste app ter wereld! geen woorden want het is te goed

Thomas R

iOS gebruiker

Gewoon geweldig. Laat me 10x beter leren, deze app is een vlotte 10/10. Ik raad het iedereen aan. Ik kan aantekeningen bekijken en zoeken. Ik kan ze opslaan in de vakmap. Ik kan ze altijd herhalen als ik terugkom. Als je deze app nog niet hebt geprobeerd, mis je echt iets.

Basil

Android gebruiker

Deze app heeft me zoveel zekerder gemaakt over mijn examenvoorbereiding, niet alleen door mijn zelfvertrouwen te boosten met functies waarmee je contact kunt maken met anderen en je minder alleen voelt, maar ook door de manier waarop de app zelf erop gericht is je beter te laten voelen. Het is makkelijk om doorheen te navigeren, leuk om te gebruiken, en nuttig voor iedereen die op welke manier dan ook worstelt.

David K

iOS gebruiker

De app is gewoon geweldig! Ik hoef alleen maar het onderwerp in de zoekbalk in te voeren en ik krijg supersnel antwoord. Ik hoef geen 10 YouTube-video's te kijken om iets te begrijpen, dus ik bespaar tijd. Zeer aanbevolen!

Sudenaz Ocak

Android gebruiker

Op school was ik echt slecht in wiskunde, maar dankzij de app gaat het nu veel beter. Ik ben zo dankbaar dat jullie de app hebben gemaakt.

Greenlight Bonnie

Android gebruiker

zeer betrouwbare app om je ideeën over wiskunde, Engels en andere gerelateerde onderwerpen in je werk te helpen en te ontwikkelen. gebruik deze app alsjeblieft als je ergens moeite mee hebt, deze app is essentieel daarvoor. had ik maar eerder een review geschreven. en het is ook gratis dus maak je daar geen zorgen over.

Rohan U

Android gebruiker

Ik weet dat veel apps nepaccounts gebruiken om hun reviews op te krikken maar deze app verdient het allemaal. Eerst haalde ik een 4 voor mijn Engels examens en deze keer kreeg ik een 7. Ik wist niet eens van deze app tot drie dagen voor het examen en het heeft ENORM geholpen. Vertrouw me alsjeblieft en gebruik het want ik weet zeker dat jij ook vooruitgang zult zien.

Xander S

iOS gebruiker

DE QUIZZES EN FLASHCARDS ZIJN ZO NUTTIG EN IK VIND DE SCHOOLGPT GEWELDIG. HET IS OOK LETTERLIJK ZOALS CHATGPT MAAR SLIMMER!! HEEFT ME OOK GEHOLPEN MET MIJN MASCARA PROBLEMEN!! EN OOK MET MIJN ECHTE VAKKEN! DUHHH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS gebruiker

Deze app is echt de beste. Ik vind herhaling zo saai maar deze app maakt het zo makkelijk om alles te organiseren en dan kun je de gratis AI vragen om jezelf te testen, zo goed en je kunt makkelijk je eigen spullen uploaden. raad het zeker aan als iemand die nu oefenexamens doet

Paul T

iOS gebruiker