Basis Rekenen en Percentages

Percentages zijn eigenlijk heel simpel als je de basisformule snapt: deel/geheel × 100%. Voor procentuele verandering gebruik je $nieuw - oud$/oud × 100%.

Bij verhoudingen zoals 1:2:3 tel je eerst alle getallen op (1+2+3=6), dan verdeel je het totaal. Voor €1200 wordt dat dus €200, €400 en €600.

Toe- en afname werkt zo: 60 neemt toe met 18% = 60 × 1,18. Voor afname van 18%: 80 × 0,82. Andersom? Als iets na 18% toename 80 wordt, was het oorspronkelijk 80/1,18.

Let op: Wetenschappelijke notatie zoals 2,62144e11 betekent gewoon 2,62144 × 10¹¹ = 262.144.000.000

Voor snelheid omrekenen: m/s naar km/h = ×3,6 en andersom ÷3,6.

Statistiek Basis - Gemiddelde, Mediaan en Modus

Gemiddelde bereken je door alle frequenties bij elkaar op te tellen en te vermenigvuldigen met hun waarden. Dan deel je door het totaal aantal waarnemingen.

De mediaan is het middelste getal als je alles van klein naar groot rangschikt. Bij 20 waarnemingen is dat het 10e getal, bij 21 het 11e getal.

Modus is simpelweg de waarde die het vaakst voorkomt. Soms is er geen modus als alle waarden even vaak voorkomen.

Handig: Bij grote datasets kun je de mediaan schatten door te kijken naar de cumulatieve frequentie.

Proporties en Statistische Verdelingen

Populatieproportie (P) is het aantal elementen met een bepaald kenmerk gedeeld door het totaal in de populatie. Steekproefproportie (p) werkt hetzelfde maar dan voor je steekproef.

Kwalitatieve data heeft twee soorten: nominaal (geen volgorde, zoals kleuren) en ordinaal (wel volgorde, zoals cijfers). Kwantitatieve data is discreet (hele getallen) of continu (alle tussenwaarden mogelijk).

Een boxplot verdeel je in kwartielen: min, Q1, mediaan, Q3, max. Elk deel bevat 25% van je data. Spreidingsbreedte = max - min, interkwartielafstand = Q3 - Q1.

Klassenbreedte tip: [10,20> betekent van 10 tot 20, waarbij 10 erbij hoort maar 20 niet. Klassenmidden = (10+20)/2 = 15.

Voor correlatie tussen twee nominale variabelen met elk twee waarden gebruik je de Phi-coëfficiënt.

Vergelijkingen en Lineaire Functies

Vergelijkingen oplossen is gewoon herschikken: 5x + 2 = 37 - 2x wordt 7x = 35, dus x = 5.

Bij lineaire functies y = ax + b is 'a' de richtingscoëfficiënt (rc). Als a = 1, ga je 1 naar rechts en 1 omhoog. Het punt b is waar de lijn de y-as snijdt.

Evenredige functies hebben de vorm y = ax en gaan altijd door de oorsprong. Als je x vermenigvuldigt met een getal, moet je y met hetzelfde getal vermenigvuldigen.

Praktijkvoorbeeld: Voor winst moet opbrengst > kosten. Dus 2,25q > 1,15q + 352 geeft q > 320 stuks.

Lijnvergelijking opstellen: Als je een punt en de rc hebt, vul je in: y = 3x + b, dan 25 = 3×10 + b, dus b = -5.

Richtingscoëfficiënt en Stelsels

Richtingscoëfficiënt berekenen: rc = Δy/Δx = $yB - yA$/$xB - xA$. Gewoon het verschil in y-coördinaten gedeeld door verschil in x-coördinaten.

Vergelijkingen herschrijven: Van 3x + 2y = 45 naar y = -1,5x + 22,5. Trek gewoon 3x af en deel door 2.

Stelsels oplossen doe je door substitutie. Bij x + y = 52 en 750x + 350y = 24600 maak je y = 52 - x en vul je in. Resultaat: 16 tafels en 36 stoelen.

Controle tip: Check of een punt op een lijn ligt door de coördinaten in de vergelijking in te vullen. Klopt het? Dan ligt het punt er op.

Algemene vorm: ax + by = c geeft altijd een rechte lijn. Maak een waardetabel met makkelijke x-waarden.

Algebra en Breuken

Kwadraten uitwerken: $p - 2q$² = p² - 4pq + 4q². Bij meer complexe vormen zoals 2y$y-1$² werk je stap voor stap uit tot y³ - 2y² + y.

Variabelen vervangen: Als G = 11,8w + 0,39z en w = z - 7,5, dan vul je in: G = 11,8$z - 7,5$ + 0,39z en werk je uit.

Breuken rekenen: Vermenigvuldigen = teller × teller en noemer × noemer. Optellen kan alleen met gelijknamige noemers: 5/9 + 3/8 = 40/72 + 27/72 = 67/72.

Breuk vereenvoudigen: 18ab/24b wordt 3a/4 door beide door 6b te delen.

Substitutie: Bij K = 18 + 2p + 3q en q = 5p + 30 maak je p = 0,2q - 6 en vul je in.

Machten en Wortels

Machtenregels zijn je beste vrienden: a^p × a^q = a^$p+q$, a^p / a^q = a^$p-q$, $a^p$^q = a^(pq), en (ab)^p = a^p × b^p.

Negatieve machten: a^$-p$ = 1/a^p. Dus 2^(-2) = 1/4 en 5^(-1) = 1/5.

Wortelregels: √(ab) = √a × √b en √$a/b$ = √a / √b. Ook geldt: √(a²) = a.

Praktisch voorbeeld: Als F = 20√(0,1G), dan wordt G = 0,025F² door beide kanten te kwadrateren en herschrijven.

Exponentiële groei heeft de vorm N = b × g^t, waarbij b de beginwaarde is en g de groeifactor per tijdseenheid.

Normale Verdeling en Standaardafwijking

Normale verdeling is die bekende klokvorm. Het gemiddelde (μ) ligt in het midden, en de standaardafwijking (σ) bepaalt hoe breed de klok is.

68-95-99,7 regel: Binnen 1σ ligt 68% van de data, binnen 2σ ligt 95%, en binnen 3σ ligt 99,7%. Deze percentages moet je uit je hoofd kennen.

Steekproefstandaardafwijking: Voor kwantitatieve data is σ = σ/√n. Voor proporties (kwalitatieve data) gebruik je σ = √$P(1-P)/n$.

Belangrijk onderscheid: Kwantitatieve data = getallen, kwalitatieve data = categorieën of percentages.

Bij proporties moet P altijd tussen 0 en 1 liggen. Voor percentages deel je door 100.

Betrouwbaarheidsintervallen en Groeimodellen

95% betrouwbaarheidsinterval heeft breedte = 4 × standaardfout. Voor proporties: 4√$P(1-P)/n$. Voor gemiddeldes: 4S/√n.

Lineaire groei volgt N = at + b (rechte lijn). De groeisnelheid a = ΔN/Δt. Exponentiële groei volgt N = b × g^t (kromme lijn).

Exponentiële groei herkennen: Als verhoudingen tussen opeenvolgende waarden gelijk zijn. Bijvoorbeeld: 24000/20000 = 1,2 en 29000/24000 ≈ 1,2.

Verdubbelingstijd: Los g^t = 2 op. Voor g = 1,038 duurt het ongeveer 18,6 jaar.

Groeifactor omrekenen: 18% erbij = factor 1,18. 12% eraf = factor 0,88. Andersom: factor 1,047 = 4,7% groei per jaar.

Exponentiële Groei - Verdieping

Groeifactor per periode: g > 1 betekent groei, 0 < g < 1 betekent afname. Voor jaarlijkse groei van 18% gebruik je factor 1,18.

Verdubbelingstijd berekenen: Als iets elke 15 jaar verdubbelt, dan g^15 = 2. Los op: g ≈ 1,047, dus 4,7% groei per jaar.

Halveringstijd: Los g^t = 0,5 op. Verdubbelingstijd: Los g^t = 2 op.

Praktijkvoorbeeld: Van 640 duizend naar 435 duizend in 5 jaar geeft g = (435/640)^(1/5) ≈ 0,925. Dat is 7,5% afname per jaar.

Beginjaar bepalen: Als je t = 0 in 2012 stelt en 2017 bekijkt, dan is t = 5.

Voor formule opstellen met exponentiële afname: N = 807 × 0,926^t waarbij 807 de geschatte beginwaarde is.